【老虎機設計】X【聖彼得堡悖論】

【老虎機設計】是一門很深的學問，要設計一款好玩且吸引玩家的老虎機，是每一個老虎機設計師或是機率工程師永遠的課題，目前還沒有任何人能明確地指出什麼樣的設計一定會好玩。 聖彼得堡悖論 博弈

普遍來說如果單獨把RTP取出來當成其中一個因子來看，RTP越低的遊戲通常越難吸引到玩家，反之RTP越高的遊戲通常越容易吸引到玩家。然而如果我們很極端地設計了一個RTP非常非常高的老虎機，甚至遠超過100，例如 RTP = 10,000 的老虎機，是不是就真的會吸引玩家一直瘋狂的來玩呢？

讓我們晚點再繼續討論上面的問題，先介紹今天的第二個標題：【聖彼得堡悖論】，首先來一段引言自維基百科的介紹：

聖彼得堡悖論是決策論中的一個悖論，由尼古拉一世·伯努利提出。1738年，丹尼爾·伯努利以效用理論來解答這個問題，因此形成預期效用理論。

1730年代，數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉一世·伯努利，在致法國數學家皮耶·黑蒙·德蒙馬特的信件中，提出一個問題：擲硬幣，若第一次擲出正面，你就賺1元。若第一次擲出反面，那就要再擲一次，若第二次擲的是正面，你便賺2元。若第二次擲出反面，那就要擲第三次，若第三次擲的是正面，你便賺2*2元……如此類推，即可能擲一次遊戲便結束，也可能反覆擲沒完沒了。問題是，你最多肯付多少錢參加這個遊戲？

你最多肯付的錢應等於該遊戲的期望值：

這個遊戲的期望值是無限大，即你最多肯付出無限的金錢去參加這個遊戲。但是，你更可能只賺到1元，或者2元，或者4元等，而不可能賺到無限的金錢。那你為什麼肯付出無限的金錢參加遊戲呢？

丹尼爾·伯努利在1738年的論文裡，對這個悖論提出了解答，他以效用的概念，來挑戰以金額期望值為決策標準，論文主要包括兩條原理：

1. 邊際效用遞減原理：一個人對於財富的占有多多益善，即效用函數一階導數大於零；隨著財富的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，效用函數二階導數小於零。
2. 最大效用原理：在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。

引言中的遊戲如果參加費10萬元，我想就很少人會願意玩了。把悖論中的遊戲概念套用到老虎機遊戲的設計，也就是設計了一款假設每次轉輪要花10萬元的老虎機，此老虎機每次轉輪有

1/2機率贏1元、1/4機率贏2元、1/8機率贏4元……1/2^K機率贏2^K-1元

K = 2千萬就好，不用到無限大。那計算上每次轉輪的期望值是贏1千萬元，也剛好就是文章開頭所說的RTP = 10,000的老虎機。那為什麼這樣一款RTP高達10,000的老虎機竟然會不吸引玩家呢？

引言維基百科的解答，也就是

個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。

以博弈業術語來解釋，就是玩家所追求的是以小博大，那種會有贏錢機會的感覺，通常也就是觸發免費遊戲後的內容所帶來的體驗，而非追求有最大RTP的博弈遊戲。

再更深入一點地引進Volatility來探討，吸引玩家的老虎機必須要有適當的Volatility模型，不是高也不是低。

• 過高Volatility的博弈遊戲，聖彼得堡悖論就是一個極端的例子，即使有無限大的RTP也不吸引玩家。
• 過低Volatility的博弈遊戲，最極端的例子就是你給賭場1000元賭場直接還你999元，RTP = 99.9 已經贏過市面上所有的博弈遊戲，但絕對沒人願意玩。

那麼到底什麼才是適當的Volatility模型，就如同文章開頭所說，目前還沒有任何人能明確地指出來。

這問題也沒有固定的最佳解，在不同的市場與不同的平台玩家的喜好都不太一樣，即使是相同市場相同平台，玩家的口味也是可能會隨著時間漸漸地改變，所以這真的是每一個老虎機設計師或是機率工程師永遠的課題。

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