老虎機數學入門 PART Ⅱ

本文是系列文章的第二篇，若還沒讀過前篇的讀者請先閱讀【老虎機數學入門 PART Ⅰ】，閱讀過前篇的讀者相信已經知道如何計算一個簡單的主遊戲，而這篇要介紹的是如何計算一個老虎機包含有以下特色：

• 5個轉輪帶都放入Scatter。
• 主遊戲中出現3個以上任意位置的Scatter將會觸發免費遊戲。
• 免費遊戲中出現3個以上任意位置的Scatter可再觸發。
• 主遊戲以及免費遊戲中出現｛3，4，5｝個Scatter 分別獲得｛10，15，20｝Free Spins。

首先附上完整算好的主遊戲計算

左邊區域為滾輪表、賠率表設定、以及圖案次數統計，做法與前篇相同。

接著細看右邊計算區域

上半部一般符號連線得分算法可參考前篇系列文【老虎機數學入門 PART Ⅰ】。

下半部的Scatter算法，必須將｛3，4，5｝個Scatter的｛10，5，1｝種狀況分別列出來計算，就可分別獲得｛3，4，5｝個Scatter的

算完後可得主遊戲RTP = 65.00%。

再來一樣附上完整算好的免費遊戲圖片

單一把免費遊戲的RTP算法跟主遊戲是一模一樣，但由於滾輪表上多了更多Wild，轉輪5也少了最後位置20的符號9，所以整體得分稍有不同，Scatter的出現頻率也稍有不同。

然後重點是如何將整個免費遊戲的RTP算出來，我們已經算出單一把免費遊戲RTP是102.28%，那麼接下來就是要算加入再觸發後免費遊戲平均總次數。先來細看免費遊戲設定

假設我們已知平均每一個Free Spin含再觸發後的平均Spins數是1.40018608 (此數據會稍後介紹如何計算)，那麼就可知道｛3，4，5｝個Scatter 分別獲得｛10，15，20｝Free Spins，乘上1.40018608之後的免費遊戲平均總次數｛14.0019，21.0028，28.0037｝。

RTP = 免費遊戲觸發率 X 單一把免費遊戲RTP X 免費遊戲平均總次數，算出來分別是｛34.92%，4.62%，0.22%｝，所以免費遊戲RTP = 39.76%。

最後要回頭來介紹如何計算每一個Free Spin含再觸發後的平均Spin數，這一步驟是許多剛入門的機率工程師第一個會碰到的難題，尤其是當不同Scatter總數會觸發不同的免費遊戲次數時，難度更是直線上升。

首先直接上公式圖

數學底子好的人已經可以從公式看出能用無窮等比級數的概念去推導公式，相信絕大部分的機率工程師也是被教導要使用無窮等比級數去計算，但用無窮等比級數的概念去推導真的不是很容易，我相信很多機率工程師都是重複拷貝使用，但很少推導此公式。

這邊要教讀者另一個【SLOT設計王】獨特的簡單代數方法來推導此公式

1. 首先假設1 Free Spin含再觸發後平均為X Free Spin，那麼(X-1)就是再觸發所增加的Free Spin。
2. 再來令每1 Free Spin｛3，4，5｝個Scatter的再觸發率為｛P₃，P₄，P₅｝，觸發增加｛S₃，S₄，S₅｝Free Spin，那麼X Free Spin平均共會再觸發｛X*P₃，X*P₄，X*P₅｝次，並且增加｛X*P₃*S₃，X*P₄*S₄，X*P₅*S₅｝Free Spin。
3. 由 1 & 2 可得 (X-1) =( X*P₃*S₃ + X*P₄*S₄ + X*P₅*S₅ )= X*( P₃*S₃ + P₄*S₄ + P₅*S₅ )
4. 左右移項可得 X - X*( P₃*S₃ + P₄*S₄ + P₅*S₅ ) = X*(1 - P₃*S₃ - P₄*S₄ - P₅*S₅ ) = 1
5. 左右同除括號內式子 X = 1 / (1 - P₃*S₃ - P₄*S₄ - P₅*S₅ )，收工！